Question

对于一切n∈N且n≥2, 若x＞-1且x≠0, 则 (1+x)n＞1+nx

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Answer 1

答案：T
解析：

证明:(1)当n＝2时, 左边＝(1+x)2＝1+2x+x2, 右边＝1+2x.         ∵  x≠0, x2＞0,         ∴  1+2x+x2＞1+2x, 不等式成立.      (2)假设n＝k(k≥2)时不等式成立.         即  (1+x)k＞1+kx   …①            ∵  x＞-1, ∴ x+1＞0 ,         ①式两边同乘以(x+1)得:           (1+x)k+1＞(1+kx)(1+x)         ＝1+(k+1)x+kx2＞1+(k+1)x         ∴  当n＝k+1时,不等式仍然成立.       根据(1),(2),       ∴  对于一切n∈N且n≥2, 命题成立.

提示：

∵ x＞-1, ∴ x+1＞0,  ∴(x+1)k·(x+1)＞(1+kx)(x+1)