Question

已知函数f（x）=

x(x2+3)

3x2+1

，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞1，且a_n+1=f（a_n）．数列{b_n}满足，bn=

1

loga(ln an-1 an+1 )

（a＞0且a≠1）设k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（Ⅰ）求证：数列{ln

an-1

an+1

}为等比数列，并指出公比；
（Ⅱ）若k+l=5，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若k+l=M₀（M₀为常数），求数列{abn}从第几项起，后面的项都满足abn＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证数列{ln

an-1

an+1

}为等比数列，只要证明

ln an+1-1 an+1+1

ln an-1 an+1

为常数即可证，该常数即为公比
（Ⅱ）由bn=

1

loga(ln an-1 an+1 )

结合（I）可得

1

bn+1

-

1

bn

=loga(ln

an+1-1

an+1+1

)-loga(ln

an-1

an+1

)=log_a3，由等差数列的性质可得，loga3=

1 b k- 1 b l

k-l

=

1+3l-1-3k

k-l

=-3，从而可求a，结合等差数列的通项且有k+l=5
（Ⅲ）由k+l=M₀可求

1

b1

，=3M₀-2，由等差数列的通项可求b_n，假设第m项后有足abn＞1．即第m项后b_n＜0，于是原命题等价于

1 bm ＞0 1 bm+1 ＜0

，代入解不等式可求M

解答：证明：（Ⅰ）∵f（x）=

x(x2+3)

3x2+1

，a_n+1=f（a_n）
∴an+1=

an(an2+3)

3an2+1

∴

an+1-1

an+1+1

=

an(an2+3) 3an2+1 -1

an(an2+3) 3an2+1 +1

=

an3-3an2+3 an+1

an3+3an2+3an+1

=

(an-1)3

(an+1)3

∴ln

an+1-1

an+1+1

=ln

(an-1)3

(an+1)3

=3ln

an-1

an+1

故数列{ln

an-1

an+1

}为等比数列，公比为3
解：（Ⅱ）∵bn=

1

loga(ln an-1 an+1 )

∴

1

bn

= loga (ln

an-1

an+1

)

1

bn+1

-

1

bn

=loga(ln

an+1-1

an+1+1

)-loga(ln

an-1

an+1

)=log_a3
所以数列{

1

bn

}是以

1

b1

为首项，公差为 log_a3的等差数列．
又loga3=

1 b k- 1 b l

k-l

=

1+3l-1-3k

k-l

=-3
∴a=3-

1

3

=(

1

3

)

1

3

又

1

bk

=

1

b1

+(k-1)(-3)=1+3l，且k+l=5
∴

1

b1

=3(k+l)-2=13
∴

1

bn

=13+(n-1)(-3)=16-3n⇒bn=

1

16-3n

（Ⅲ）∵k+l=M₀⇒

1

b1

=3M0-2
∴

1

bn

=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+1
假设第m项后满足abn＞1=a⁰．
∵a=(

1

3

)

1

3

∈(0，1)⇒

1

bn

=logaan＜0
即第m项后

1

bn

＜0，于是原命题等价于

1 bm ＞0 1 bm+1 ＜0

⇒

3M0-3M+1＞0       3M0-3(M+1)+1＜0

⇒M0-

2

3

＜M＜M0+

1

3

…（15分）
∵M∈N^*⇒M=M₀故数列{a_n}从M₀+1项起满足abn＞1．．       …（16分）

点评：本题考查了等差和等比数列的综合，以及数列与不等式相结合等等知识点，属于难题．解题时请注意对数式的处理，和利用数列综合解决问题中要求数列的技巧运用．