Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且1，a_n，S_n等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

n

an

}的前n项和，若对于一切n∈N*，总有Tn＜

m-4

3

成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知2a_n=S_n+1，a₁=1，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由Tn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

，知

Tn=1+ 2 2 + 3 22 + 4 23 +…+ n-1 2n-2 + n 2n-1 1 2 Tn= 1 2 + 2 22 + 3 23 +…+ n-2 2n-2 + n-1 2n-1 + n 2n

，由此能求出Tn=4-

2+n

2n-1

＜4，从而能求出 求m的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知2a_n=S_n+1，
当n=1时，2a₁=a₁+1，∴a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，（3分）
整理得

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，（5分）
∴a_n=a₁•2^n-1=1•2^n-1=2^n-1（6分）
（Ⅱ）Tn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

Tn=1+ 2 2 + 3 22 + 4 23 +…+ n-1 2n-2 + n 2n-1 1 2 Tn= 1 2 + 2 22 + 3 23 +…+ n-2 2n-2 + n-1 2n-1 + n 2n

（8分）
两式相减

1 2 Tn=1+ 1 2 + 1 22 + 1 23 +…+ 1 2n-1 - n 2n = 1(1-( 1 2 )n) 1- 1 2 - n 2n =2- 2+n 2n

（10分）
∴Tn=4-

2+n

2n-1

＜4（11分）
∵对于一切n∈N*，有Tn＜

m-4

3

成立，即只须

m-4

3

≥4，即m≥16．
∴m的最小值为16                                  （14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．