Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，AB=2，BC=3，P是BC上的一个动点，当

PD

•

PA

取最小值时，tan∠DPA的值是（　　）

• A．

  5

  24

• B．

  6

  25

• C．

  17

  25

• D．

  8

  15

Answer 1

分析：由余弦定理可得 1=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，即

PD

•

PA

=

AP2 +DP2-1

2

，利用基本不等式可得当

PD

•

PA

最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，tan

∠APD

2

=

1 2

2

=

1

4

，利用倍角的正切公式求得tan∠APD 的值．

解答：解：∵

PD

•

PA

=PD•PA cos∠APD，
△PDA中，由余弦定理可得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，
∴

PD

•

PA

=

AP2 +DP2-1

2

≥

2AP•DP-1

2

，当且仅当AP=DP 时，等号成立．
故当

PD

•

PA

最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，tan

∠APD

2

=

1 2

2

=

1

4

，
∴tan∠APD=

2tan ∠APD 2

1-tan2 ∠APD 2

=

2 4

1-( 1 4 )2

=

8

15

，
故选 D．

点评：本题考查余弦定理，基本不等式，二倍角的正切公式的应用，求出tan

∠APD

2

 的值，是解题的关键，属于中档题．