Question

如图，在梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=DC-=CB=1，么ABC-60．，四边形ACFE为矩形，平面ACFE上平面ABCD，CF=1．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（II）若M为线段EF的中点，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），求cosθ．

Answer 1

分析：（I）在梯形ABCD中，由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，知AB=2，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，故AB²=AC²+BC²，由此能够证明BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(

3

2

，-1，1)，设

n1

=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由

- 3 x+y=0 3 2 x-y+z=0

，得

n1

=(1，

3

，

3

2

)，由

n2

=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，利用向量法能够求出cosθ．

解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，
∠ABC=60°，∴AB=2．
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（

3

2

，0，1），
∴

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(

3

2

，-1，1)，
设

n1

=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由

n1 • AB  =0 n • BM =0

，得

- 3 x+y=0 3 2 x-y+z=0

，
取x=1，则

n1

=(1，

3

，

3

2

)，
∵

n2

=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

1+3+ 3 4 ×1

=

2 19

19

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题，恰当地运用向量法进行求解．