题目内容
【题目】2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数
对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中
）：
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0.41 | 0.1681 | 1.492 | 306 | 20858.44 | 173.8 | 50.39 |
（1）求y关于x的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.
（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
，相关系数
.
【答案】（1）
，0.96；（2）单价应选择80元，理由见解析
【解析】
（1）令
，则
可转化为
，求得
，
，
，可求得回归方程和线性相关系数.
（2）求出产品单价为80元，记企业利润为X（元），企业利润X（元）的分布列和利润的期望，产品单价为70元，记企业利润为Y（元），企业利润Y（元）的分布列和利润的期望，比较可得出选择.
（1）令，则可转化为，
因为
，
所以
，
则
，
所以，
因此y关于x的回归方程为
；
y与u的相关系数为：
，
（2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为X（元），
订单为9千件时，每件产品的成本为
元，
企业的利润为
（元），
订单为10千件时，每件产品的成本为
元，
企业的利润为
（元），
企业利润X（元）的分布列为
X | 260000 | 300000 |
P | 0.7 | 0.3 |
所以
（元）；
（ii）若产品单价为70元，记企业利润为Y（元），
单为10千件时，每件产品的成本为元，
企业的利润为
（元），
订单为11千件时，每件产品的成本为
元，
企业的利润为
（元），
企业利润Y（元）的分布列为
Y | 200000 | 230000 |
P | 0.3 | 0.7 |
所以
（元），
又∵
，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.
法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为X（千件），其分布列为
Y | 9 | 10 |
P | 0.7 | 0.3 |
所以
企业的利润为：
（ii）若产品单价为70元，记企业的产量为Y（千件），其分布列为
X | 10 | 11 |
P | 0.3 | 0.7 |
所以
企业的利润为：
又∵
,
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.
【题目】某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量
（单位：万件）与月销售单价
（单位：元/件）之间的关系，对近
个月的月销售量
和月销售单价
数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价 |
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月销售量 |
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（1）若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：
，
和
，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用
模型拟合与之间的关系，可得回归方程为
，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数
分别为
和
，请用说明哪个回归模型的拟合效果更好；
（3）已知该商品的月销售额为
（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到
）
参考数据：
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