Question

【题目】如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）由题意可知、、、共面.连接，，相交于点，由空间几何关系可证得平面，则，结合题意有平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.

（2）取的中点，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，结合几何体的结构特征可得平面的法向量为，平面的法向量，利用空间向量的结论可得二面角的余弦值为.

（1）证明：∵，∴四点、、、共面.

如图所示，连接，，相交于点，

∵四边形是菱形，∴对角线，

∵平面，

∴，又，

∴平面，

∴，

又，，

∴平面，

平面，

∴平面平面.

（2）取的中点，

∵，，

∴是等边三角形，∴，

又，∴，

以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

，，，.

∵.

∴，解得.

设平面的法向量为，

则，∴，

取.

同理可得：平面的法向量.

∴.

由图可知：二面角的平面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.