Question

【题目】已知函数，．

（）当时，证明：为偶函数；

（）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．

Answer 1

【答案】（）证明见解析；（）；（）.

【解析】试题分析：（1）当时，的定义域关于原点对称，而，说明为偶函数；（2）在上任取、，且，则恒成立，等价于恒成立，可求得的取值范围；（3）先证明不等式恒成立，等价于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得结果.

试题解析：（）当时，，定义域关于原点对称，

而，说明为偶函数．

（）在上任取、，且，

则，

因为，函数为增函数，得，，

而在上调递增，得，，

于是必须恒成立，

即对任意的恒成立，

∴．

（）由（）、（）知函数在上递减，

在上递增，其最小值，

且，

设，则，，

于是不等式恒成立，等价于，

即恒成立，

而，仅当，

即时取最大值，故．