Question

【题目】已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面.

（1）证明：；

（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.

【试题解析】

（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，

因为且平面，所以平面，

因为平面，所以．

因为平面，平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因为，且为的中点，

所以，所以平面，所以与平面所成的角为，

所以，所以，因为，所以．

分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则

，

所以．

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记二面角的大小为，则．

所以二面角的余弦值为．