题目内容
8．已知抛物线C的焦点坐标在x轴上且开口向右，焦点与准线的距离为4，定点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，（1）抛物线C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，求直线的方程．
分析 （1）设出抛物线方程，利用焦点与准线的距离为4，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，利用韦达定理，建立方程，即可求直线的方程．
解答 解：（1）由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），而焦点与准线的距离为4，所以p=4，故所求抛物线C：y2=8x …（4分）
（2）由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x-2，其中m=$\frac{1}{k}$．
联立抛物线方程得到y2-8my-16=0，△＞0，…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=8m，y1y2=-16．…（8分）
又$\overrightarrow{MA}$=（x1+2，y1-2），$\overrightarrow{MB}$=（x2+2，y2-2），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x1+2）（x2+2）+（y1-2）（y2-2）=（my1+4）（my2+4）+（y1-2）（y2-2）
=（m2+1）y1y2+（4m-2）（y1+y2）+20
=-16（m2+1）+（4m-2）×8m+20=4（2m-1）2．
由4（2m-1）2=0，解得m=$\frac{1}{2}$．
所以k=$\frac{1}{m}$=2．
故所求的直线方程是y=2x-4．…（12分）
点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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