Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a+b=5，c=

7

，且4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

．
（1）求角C的大小；
（2）若a＞b，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用内角和定理及诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把c，cosC，代入并利用完全平方公式变形，把a+b=5代入求出ab=6，联立即可求出a与b的值．

解答： 解：（1）∵A+B+C=180°，∴

A+B

2

=90°-

C

2

，
已知等式变形得：4×cos²

C

2

-cos2C=

7

2

，即2+2cosC-2cos²C+1=

7

2

，
整理得：4cos²C-4cosC+1=0，
解得：cosC=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
把a+b=5①代入得：7=25-3ab，即ab=6②，
联立①②，解得：a=3，b=2．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．