Question

（2012•焦作模拟）如图，矩形ABCD中，AB=CD=2

5

，BC=AD=

5

．现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D-AC-B为直二面角．
（Ⅰ）求二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F，可证DE、AC、BF两两垂直．以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，确定平面ABD的法向量

m

=（4，-2，1），平面BCD的法向量

n

=（1，2，4），利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅱ）设O为AC的中点，可得O为四面体ABCD的外接球的球心，从而可求四面体ABCD的体积．

解答：解：如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F，则AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2．
因为DE⊥AC，面ACD∩面ABC=AC，二面角D-AC-B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，
又因为BF?平面ABC，所以DE⊥BF，故DE、AC、BF两两垂直．
如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系．
则各点的坐标如下A（0，-4，0），B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，-3，2）．（3分）
（Ⅰ）

AD

=（0，1，2），

AB

=（2，4，0），

BC

=（-2，1，0），

CD

=（0，-4，2）
设平面ABD的法向量为

m

=（x，y，1），则

m • AB =0 m • AD =0

，∴

2x+4y=0 y+2=0

，∴

y=-2 x=4

，
即

m

=（4，-2，1）
设平面BCD的法向量为

n

=（1，b，c），则

n • BC =0 n • CD =0

，

-2+b=0 -4b+2c=0

，∴

b=2 c=4

即

n

=（1，2，4）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

4

21

．
由图形知二面角A-BD-C平面角的余弦值为-

4

21

．（8分）
（Ⅱ）设O为AC的中点，∵△ABC与△ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心．
∴四面体ABCD的体积V=

4π

3

×(

5

2

)3=

125π

6

（12分）

点评：本题考查面面角，考查四面体体积的计算，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．