题目内容
12．已知函数f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；（1）求m的值；
（2）用单调性定义证明：函数f（x）在（-∞，1）上为增函数．
分析 （1）由函数f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；可得$\frac{m}{（2-1）^{2}}$=1，解得m即可得出．
（2）由 （1）可得f（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$．（x＜1）．?x1＜x2＜1，只要证明f（x1）-f（x2）＜0即可．
解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；
∴$\frac{m}{（2-1）^{2}}$=1，解得m=1．
（2）证明：由 （1）可得f（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$．（x＜1）．
?x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{（{x}_{1}-1）^{2}}$-$\frac{1}{（{x}_{2}-1）^{2}}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}-2）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{[（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）]^{2}}$，
∵x1＜x2＜1，
∴x1+x2＜2，x2-x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（-∞，1）上为增函数．
点评 本题考查了函数的单调性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
名师金手指领衔课时系列答案
相关题目