Question

20．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量$\overrightarrow{a}$═$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，设A（m，0），B（0，n），由题意可得mn=2，求得向量OP的坐标，运用向量数量积的坐标表示，结合基本不等式即可得到最大值．

解答 解：以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，
设A（m，0），B（0，n），则$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（1，2），$\overrightarrow{PA}$=（m-1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（-1，n-2），
Rt△AOB的面积为1，即有mn=2，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1-m-2（n-2）
=5-（m+2n）≤5-2$\sqrt{2mn}$=5-2×2=1．
当且仅当m=2n=2时，取得最大值1．
故选：A．

点评 本题考查向量数量积的最值的求法，注意运用向量的坐标运算，结合基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．