Question

8．己知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=120°，PA=2．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若G为PC的中点，求多面体P-ABDG的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BD，由菱形性质得出AC⊥BD，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；
（2）求出四棱锥P-ABCD的体积，则多面体PABDG的体积V=V_棱锥P-ABCD-V_棱锥G-BCD．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=120°，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}×2×2×sin120°×2$=2$\sqrt{3}$．
∴V_棱锥P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵G是PC的中点，
∴V_棱锥G-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•$\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×sin120°×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴多面体PABDG的体积V=V_棱锥P-ABCD-V_棱锥G-BCD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．