Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜出通项a_n，并用数学归纳法证明你的结论；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n+1=a_n²-na_n+1、a₁=2代入计算即得结论；先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，进而论证n=k+1时，等式依然成立，最终得到不等式a_n=n+1成立；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）依题意，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5；
猜想：a_n=n+1．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁=2，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，a_k=k+1，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
=（k+1）（k+1-k）+1
=k+2，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1=（k+1）+1．
由①、②可知：对于所有n≥1，有a_n=n+1．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
前n项和S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，注意解题方法的积累，属于中档题．