题目内容
16．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{3}$，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测．求：（1）三人都合格的概率；
（2）三人都不合格的概率；
（3）出现几人合格的概率最大．
分析 （1）利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．
（2）把每个人不合格的概率相乘，即得所求．
（3）再求出仅一个人合格的概率、仅2个人合格的概率，结合前两问，比较可的结论．
解答 解：（1）由题意可得，三人都合格的概率为$\frac{2}{5}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$；
（2）三人都不合格的概率为（1-$\frac{2}{5}$）•（1-$\frac{3}{4}$）•（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$；
（3）由于仅一个人合格的概率为$\frac{2}{5}$•（1-$\frac{3}{4}$）•（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{2}{5}$）•$\frac{3}{4}$•（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{2}{5}$）•（1-$\frac{3}{4}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{15}$+$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{5}{12}$，
仅2个人合格的概率为$\frac{2}{5}•\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{3}）$+$\frac{2}{5}•（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{3}$+（1-$\frac{2}{5}$）•$\frac{3}{4}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{3}{20}$=$\frac{23}{60}$．
由以上可得，没有人合格、三人都合格的概率都是 $\frac{1}{10}$，
∵$\frac{5}{12}$＞$\frac{23}{60}$＞$\frac{1}{10}$，故出现仅一人合格的概率最大．
点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
己知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=120°，PA=2．