Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：S_n＝a_n＋n－3.

(1)求证：数列{a_n－1}是等比数列．

(2)令c_n＝log₃(a₁－1)＋log₃(a₂－1)＋…＋log₃(a_n－1)，对任意n∈N^*，是否存在正整数m，使＋＋…＋≥都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解　(1)证明：当n＝1时，S₁＝a₁＝a₁－2，解得a₁＝4.

当n≥2时，由S_n＝a_n＋n－3得S_n－1＝a_n－1＋n－4，

两式相减，得S_n－S_n－1＝a_n－a_n－1＋1，

即a_n＝3a_n－1－2，则a_n－1＝3(a_n－1－1)，

故数列{a_n－1}是以a₁－1＝3为首项，3为公比的等比数列．

(2)由(1)知a_n－1＝3ⁿ，

c_n＝log₃(a₁－1)＋log₃(a₂－1)＋…＋log₃(a_n－1)＝1＋2＋…＋n＝，所以＝

则＋＋…＋

由＋＋…＋≥对任意n∈N^*都成立，得对任意n∈N^*都成立，又m∈N^*，所以m的值为1,2,3.