Question

(本小题满分13分)
已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。

Answer 1

（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ
。
（2）；（3）t<1。

试题分析：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ
 （3分）
（2）S_n=a₁+a₂+……+a_n
（6分）
（3）b_n=a_n·a_n+1

∴当n为奇数时
     （9分）
当n为偶数时
（12分）
综上所述，t的取值范围为t<1                     （13分）
点评：若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。
注：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。