Question

（本题满分13分）
已知函数，且对任意，有
（1）求。
（2）已知在区间（0，1）上为单调函数，求实数的取值范围。
（3）讨论函数的零点个数？

Answer 1

,
时，函数无零点；
当1或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点。
当时，函数有四个零点

（1）由
得  （2分）
（2）

所以  （4分）
依题意，
或在（0，1）上恒成立     （5分）
即
或在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，
可知
由在（0，1）上恒成立，
可知，所以或  （8分）
（3），
令
所以
令，则，列表如下：

	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
	+	0	-	0	+	0	-
	单调递增	极大值	单调递减	极小值1	单调递增	极大值	单调递减

所以当时，函数无零点；
当1或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点。
当时，函数有四个零点。（13分）