Question

如图, SA垂直于以AB为直径的圆所在的平面, 且∠SBA＝30°, C为弧AB  上一点, ∠BAC＝α,二面角A-SB-C的平面角为β,则   tanα·tanβ＝___________. 

   

Answer 1

答案：2
解析：

解: 作AM⊥SB于M,作AM⊥SC于N，连MN,   所以 SA⊥面ABC,   所以 SA⊥BC  因为 AB是直径,  所以 ∠ACB＝90°,  所以 BC⊥面SAC,  所以 平面SAC⊥面SBC 因为 AN⊥SC,  所以 AN⊥平面SBC. 在Rt△ACB中, ∠BAC＝α, tanα＝ 在Rt△ANM中, ∠AMN＝β, tanβ＝ 所以tanα·tanβ＝ 因为 Rt△SMN∽Rt△SCB,  所以  Rt△SAN∽Rt△SAC,  所以  所以 所以tanα·tanβ＝   因为 ∠SBA＝30° 所以 ＝2  即tanα·tanβ＝2

提示：

AN⊥平面SBC.