Question

如图，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC的中点，过点D的直线分别交AB，AC于点M，N，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，其中x＞0，y＞0，则2x+4y的最小值是______．

Answer 1

以AC、AB为a，b轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，
则D点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，
∴点M坐标为（0，2x），点N的坐标为（2y，0）
∴直线MN的方程为

a

2x

+

b

2y

=1
∵直线MN过点D（1，1），
∴

1

2x

+

1

2y

=1
∴

1

x

+

1

y

=2
则2x+4y=(

1

x

+

1

y

)x+2?(

1

x

+

1

y

)y=3+（

x

y

+

2y

x

）≥3+2

2

故答案为：3+2

2