Question

13．设向量$\overrightarrow{AB}$=（2，6），$\overrightarrow{BC}$=（sinθ，1），θ∈（0，π）．
（1）若A、B、C三点共线，求cos（θ+$\frac{3π}{2}$）；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$＜$\frac{33}{4}$，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三点共线的条件，求得sinθ的值，可得cos（θ+$\frac{3π}{2}$）的值．
（2）由条件利用两个向量的数量积的运算，求得2sinθ+sin²θ+7＜$\frac{33}{4}$，求得-$\frac{5}{2}$＜sinθ＜$\frac{1}{2}$，由此求得θ的范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{AB}$=（2，6），$\overrightarrow{BC}$=（sinθ，1），θ∈（0，π），若A、B、C三点共线，
则有$\frac{sinθ}{2}$=$\frac{1}{6}$，求得sinθ=$\frac{1}{3}$，∴cos（θ+$\frac{3π}{2}$）=sinθ=$\frac{1}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（2+sinθ，7）•（sinθ，1）=2sinθ+sin²θ+7＜$\frac{33}{4}$，
求得-$\frac{5}{2}$＜sinθ＜$\frac{1}{2}$，∴2kπ-$\frac{7π}{6}$＜θ＜2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
即要求的θ的取值范围为（ 2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$ ），k∈Z．

点评 本题主要考查三点共线的条件，两个向量的数量积的运算，解三角不等式，属于中档题．