Question

已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．
（1）证明：；
（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．

Answer 1

（1）略（2）2

(1) 设，先利用焦半径公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x₁表示出来.相加即可.
(2)根据离心率可求出a值，进而椭圆方程确定，然后设直线的方程为,由直线QR与圆O相切，进而得到,
然后直线与椭圆方程联立，消y之后，表示出,
则,，,因而确定当且仅当时，取最大值2.
（1）设，得，…………………3分
由是圆的切线，，
注意到，，……………6分
所以．                           ……………7分
（2）由题意，，．     …………………………9分
方法一：设直线的方程为，点在第一象限，．
由直线与圆相切，．  …………………………11分
由，消得，
设，则．
由（1）知，，…14分
，．
当且仅当时，取最大值2，此时直线的方程为，过焦点．
方法二：设，则直线的方程为． ……11分
由，消得，
则，，，
由（1）知，，……14分
，，
当且仅当时，取最大值2，此时，直线过焦点． 
方法三：由（1）同理可求，则，………11分
，
当且仅当直线过焦点时等号成立，从而．