Question

设函数f（x）=

1-a

2

x2+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值，
（2）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）可得函数定义域，解出f'（x）=0，得x=1．然后考虑在1左右两侧导数符号，由极值定义可求；
（2）化简可得f′（x）=

(1-a)(x- 1 a-1  )(x-1)

x

，按照两根

1

a-1

与1的大小关系讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f(x)=x-lnx， f′(x)=1-

1

x

．
令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值．
（2）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

(1-a)(x- 1 a-1  )(x-1)

x

（x＞0），
①当

1

a-1

=1，即a=2时，f′(x)=-

(x-1)2

x

＜0，故函数在（0，+∞）上是减函数；
②当

1

a-1

＜1，即a＞2时，
令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1，令f'（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1，
③当

1

a-1

＞1，即1＜a＜2时，
令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞

1

a-1

，令f'（x）＞0，得1＜x＜

1

a-1

，
综上，当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（

1

a-1

，+∞）上单调递减，在（1，

1

a-1

）上单调递增；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞2时，f（x）在（0，

1

a-1

）和（1，+∞）上单调递减，在（

1

a-1

，1）上单调递增．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查分类讨论思想，导数是解决函数的有力工具，应重点掌握．