Question

设函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

Answer 1

分析：方法一：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，
由f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

得到关于ab的不等式，
解出不等式的解集，由解集确定ab＞1．
方法二：去绝对值号将函数变为分段函数，即f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

由函数的单调性及题设条件得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2，将其变形得到2ab=a+b≥2

ab

，解此不等式即可得到结论．

解答：证明：方法一：由师意f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，故

ab

-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2?a+b=2ab≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，即ab＞1

点评：本题考点是绝对值不等式的解法，考查利用绝对值不等式这一工具证明不等式，二者的结合点相当隐蔽，本题需要对题设条件进行转化证明，请注意体会这里的技巧．