Question

如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，PO⊥平面ABCD，AO=BO=DO=1，CO=PO=2，E是线段PA上的点，AE：AP=1：3．
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求二面角D-PB-C的大小．

Answer 1

分析：对于（1），要证明OE∥平面PBC，只需证明OE与平面PBC内的一条直线平行即可，而AO=BO=DO=1，CO=PO=2，
AE：AP=1：3，可以确定O是AC的三等分点，从而可以证明OE∥PC，从而得证；
对于（2），由AC⊥BD，垂足为O，PO⊥平面ABCD，可以得到OA、OB、OC三条线两两垂直，且二面角D-PB-C的平面角为锐角，
因而可以建立空间直角坐标系，将求二面角问题转化为求平面PBC与平面PBD的法向量的夹角．

解答：证明：（1）由题意AE：AP=1：3，
又AO=1，AC=3，
∴AO：AC=1：3，
三角形PAC中，有OE∥PC，
又OE?平面PBC，PC?平面PBC，
由线面平行的判定定理得：OE∥平面PBC；

（2）解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz，由已知可得个点坐标：B（1，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，2），D（-1，0，0）∴

PB

=（1，0，-2），

PC

=（0，，2，-2），
设平面PBC的一个法向量为：

n

=（x，y，z），则

n • PB =0 n • PC =0

解得：

x-2z=0 2y-2z=0

，
取x=2，y=1，z=1，得：

n

=（2，1，1）；
取平面PBD的一个法向量为

m

═（0，1，0），则cos＜

m

，

n

＞=

m• n

|m| |n|

=

1

6

=

6

6

，
又因为二面角D-PB-C的平面角为锐角，所以二面角D-PB-C的大小为arcos

6

6

．

点评：本题考查线面平行的判定和二面角的求法，注意其中转化思想的应用，将线面平行转化为线线平行，将二面角转化为向量的夹角去求．