Question

6．直线y=kx+3与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$只有一个公共点，则满足条件的k值有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 直线方程和双曲线的方程联立可消去y得到关于x的方程（5-9k²）x²-54kx-126=0（1），5-9k²=0时，可求出k=$±\frac{\sqrt{5}}{3}$，此时方程（1）只有一个解，从而直线和双曲线只有一个公共点，而5-9k²≠0时，要使直线和双曲线只有一个公共点，需△=54²k²+4（5-9k²）•126=0，可解出k，从而便可得出满足条件的k值的个数．

解答 解：y=kx+3带入$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$并整理得：
（5-9k²）x²-54kx-126=0（1）；
①若5-9k²=0，即k=$±\frac{\sqrt{5}}{3}$，此时方程（1）只有一个解；
∴满足直线和双曲线只有一个公共点；
②若5-9k²≠0，解△=54²k²+4（5-9k²）•126=0得：$k=±\frac{\sqrt{14}}{3}$；
此时方程（1）只有一个解；
即满足直线和双曲线只有一个公共点；
∴满足条件的k值有4个．
故选：D．

点评 考查直线方程和双曲线方程形成方程组解只有一个时对应的直线和双曲线只有一个公共点，以及一元二次方程只有一个解时，判别式△的取值情况．