Question

14．如图所示在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别为DC，A₁B₁，AC，BB₁的中点
（1）求证：EF⊥D₁B；
（2）求证：MN∥平面AB₁C₁．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出EF，D₁B的方向向量，利用向量法，可得答案；
（2）求出MN的方向向量，取AC₁的中点O的坐标，求出向量$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，结合线面平行的判定定理，可得答案．

解答 证明：（1）令长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长为2，建立如图所示的空间坐标系，

∵E，F为DC，A₁B₁的中点，
∴E（1，2，2），F（1，0，0），D₁（0，2，0），B（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（2，-2，2），
∵$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=4-4=0，
∴$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}B}$，
即EF⊥D₁B；
（2）∵M，N分别为AC，BB₁的中点
∴M（1，1，2），N（2，0，1），B₁（2，0，0），AC₁的中点O的坐标为（1，1，1），
∵$\overrightarrow{MN}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，-1，-1），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$；
又∴MN?平面AB₁C₁，OB₁?平面AB₁C₁．
∴MN∥平面AB₁C₁．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，异面直线的夹角，难度中档．