Question

10．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5浓度（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，25]	5	0.25
第二组	（25，50]	10	0.5
第三组	（50，75]	3	0.15
第四组	（75，100）	2	0.1

（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B₁，B₂．利用列举法能求出恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率．
（Ⅱ）求出去年该居民区PM2.5年平均浓度，以是否超过超过35微克/立方米，来判断该居民区的环境是否需要改进．

解答 解：（Ⅰ） 设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A₁，A₂，A₃，
PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B₁，B₂．
所以5天任取2天的情况有：A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₂A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共10种．  …（4分）
其中符合条件的有：A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共6种．  …（6分）
所以所求的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．                 …（8分）
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进． …（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查样本平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用．