Question

19．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面D₁AC；
（Ⅱ）证明：BC₁⊥B₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易说明BC₁∥AD₁，从而根据线面平行的判定定理即可得出BC₁∥平面D₁AC；
（Ⅱ）连接DB₁，B₁C，可以看出BC₁⊥CD，而根据条件知道四边形BCC₁B₁为正方形，从而有BC₁⊥B₁C，这样根据线面垂直的判定定理即可得出BC₁⊥平面B₁CD，从而得出BC₁⊥B₁D．

解答 证明：（Ⅰ）∵AB∥D₁C₁，且AB=D₁C₁；
∴四边形ABC₁D₁为平行四边形；
∴BC₁∥AD₁；
又AD₁?平面D₁AC，BC₁∉平面D₁AC；
∴BC₁∥平面D₁AC；
（Ⅱ）如图，连接DB₁，B₁C；

∵CD⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴CD⊥BC₁，即BC₁⊥CD；
又BC=BB₁，∴四边形BCC₁B₁是正方形；
∴BC₁⊥B₁C，且CD∩B₁C=C；
∴BC₁⊥平面B₁CD；
∴BC₁⊥B₁D．

点评 考查平行四边形的概念，线面平行的判定定理，线面垂直的性质，正方形的对角线互相垂直，以及线面垂直的判定定理．