Question

9．已知椭圆x²+by²=a与直线x+y-1=0相交于A、B两点，当|AB|=2$\sqrt{2}$且AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为$\frac{1}{5}$时，求a、b的值．

Answer 1

分析 根据直线方程与椭圆方程联立，消去y求出弦长|AB|，再求出AB的中点M，由斜率k_OM求出b的值，再求出a的值．

解答 解：设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{by}^{2}=a}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，消去y得，
（1+b）x²-2bx+b-a=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2b}{1+b}$，x₁x₂=$\frac{b-a}{1+b}$；
∴弦长|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（\frac{2b}{1+b}）}^{2}-\frac{4（b-a）}{1+b}}$
=2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{ab+a-b}}{|1+b|}$=2$\sqrt{2}$，
整理得：b²+3b-a-ab+1=0；
又y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=2-$\frac{2b}{1+b}$=$\frac{2}{1+b}$，
∴AB的中点为M（$\frac{b}{1+b}$，$\frac{1}{1+b}$），
由题意得：k_OM=$\frac{\frac{1}{1+b}}{\frac{b}{1+b}}$=$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{5}$，
解得b=5，a=$\frac{41}{6}$．

点评 本题考查了直线与椭圆位置关系的应用问题，也考查了弦长公式的应用问题，是综合题．