题目内容

5．若向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，求△ABC的面积．

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，结合范围0＜C＜π，可得-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，sinωx），
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{sin^2}ωx-\frac{1}{2}=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，…（3分）
由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（4分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，…（6分）
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$． …（8分）
又∵a+b=3，$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴（a+b）2-3ab=3，即ab=2，
由面积公式得三角形面积为$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

练习册系列答案
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