Question

13．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，2），若直线l上存在点M，满足|MA|²+|MO|²=10，则实数a的取值范围是{a|$a≤-\sqrt{3}$或$a≥\sqrt{3}$}．

Answer 1

分析 设M（x，-ax-3），由已知条件利用两点间距离公式得x²+（-ax-5）²+x²+（-ax-3）²=10，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围．

解答 解：设M（x，-ax-3），
∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，2），直线l上存在点M，满足|MA|²+|MO|²=10，
∴x²+（-ax-5）²+x²+（-ax-3）²=10，
整理，得（a²+1）x²+8ax+12=0，
∵直线l上存在点M，满足|MA|²+|MO|²=10，
∴（a²+1）x²+8ax+12=0有解，
∴△=（8a）²-4×12×（a²+1）＞0，
解得a$≤-\sqrt{3}$，或a$≥\sqrt{3}$．
故答案为：{a|$a≤-\sqrt{3}$或$a≥\sqrt{3}$}．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．