Question

2．小明一家三口都会下棋，在假期里的每一天中，父母都交替与小明下棋，已知小明胜父亲的概率是$\frac{1}{2}$，胜母亲的概率是$\frac{2}{3}$，且各盘棋之间是相互独立的．
（1）如果共下7盘棋，并且小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率；
（2）如果共下3盘棋，小明与父亲先下，且规定每胜一盘得1分，每负一盘减1分，求小明最终得分ξ的分布列；
（3）某天父母与小明约定下三盘棋，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他买新的钢笔，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由．

Answer 1

分析 （1）如果共下7盘棋，并且小明与父亲先下，则与父亲下4盘，与母亲下3盘，即可小明恰胜一盘的概率；
（2）如果共下3盘棋，小明与父亲先下，且规定每胜一盘得1分，每负一盘减1分，
ξ的取值为3，1，-1，-3，求出相应的概率，即可求小明最终得分ξ的分布列；
（3）先与父亲下，概率为$\frac{1}{2}$；先与母亲下，概率为$\frac{4}{9}$．

解答 解：（1）如果共下7盘棋，并且小明与父亲先下，则与父亲下4盘，与母亲下3盘
小明恰胜一盘的概率为${C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•（\frac{1}{2}）•（\frac{1}{3}）^{3}$+$（\frac{1}{2}）^{4}•{C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{5}{216}$；
（2）如果共下3盘棋，小明与父亲先下，且规定每胜一盘得1分，每负一盘减1分，
ξ的取值为3，1，-1，-3，P（ξ=3）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$•2=$\frac{5}{12}$
P（ξ=-1）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$+2$•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=-3）=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$
∴小明最终得分ξ的分布列

ξ	3	1	-1	-3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$

；
（3）应该先与父亲下，概率为$\frac{1}{2}$；先与母亲下，概率为$\frac{4}{9}$．
∴应该先与父亲下．

点评 本题考查概率的计算，考查ξ的分布列，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题