Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC＝1∶3．

(1)若M为AB中点，求证：BB₁∥平面EFM；

(2)求证：EF⊥BC；

(3)求二面角A₁－B₁D－C₁的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点， 　　∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM． 　　(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得．AN⊥BC， 　　又BF∶FC＝1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN， 　　∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME． 　　∴ME⊥BC，由于MF∩ME＝M，∴BC⊥平面EFM， 　　又EF平面EFM，∴BC⊥EF． 　　(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，过点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1－B1D－C的平面角，易得∠A1QD＝arctan．