Question

已知f(x)=3x²-x+m(x∈R),g(x)=ln x.

(1)若函数f(x)与g(x)的图象在x=x₀处的切线平行,求x₀的值;

(2)求当曲线y=f(x)与y=g(x)有公共切线时,实数m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,求函数F(x)=f(x)-g(x)在区间[,1]上的最值(用m表示).

Answer 1

解:(1)f′(x)=6x-1,g′(x)=(x>0),

由题意知6x₀-1=(x₀>0),

即6-x₀-1=0,

解得x₀=或x₀=-,

又∵x₀>0,

∴x₀=.

(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)相切且在交点处有公共切线,

由(1)得切点横坐标为,

∴f()=g(),

∴-+m=ln ,

即m=--ln 2,

数形结合可知,m>--ln 2时,f(x)与g(x)有公共切线,

故m的取值范围是(--ln 2,+∞).

(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x²-x+m-ln x,

故F′(x)=6x-1-

=

=,

当x变化时,F′(x)与F(x)在区间[,1]上的变化情况如表:

x	[,)		(,1]
F′(x)	-	0	+
F(x)	↘	极小值	↗