Question

20．已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线 l：$\left\{\begin{array}{l}kx=-2+t\\ 2y=-2-2t\end{array}$（t为参数）与圆C相切．求
（1）圆C的直角坐标方程； 
（2）实数k的值．

Answer 1

分析 （1）由圆C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式可得圆C的直角坐标方程．
（2）直线 l：$\left\{\begin{array}{l}kx=-2+t\\ 2y=-2-2t\end{array}$（t为参数）化为普通方程：kx+y+3=0，利用直线与圆C相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）由圆C的极坐标方程为ρ=2，可得圆C的直角坐标方程为：x²+y²=4．
（2）直线 l：$\left\{\begin{array}{l}kx=-2+t\\ 2y=-2-2t\end{array}$（t为参数）化为普通方程：kx+y+3=0，由直线与圆C相切．
∴$\frac{|0+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆C相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．