Question

8．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$．
（1）当a=2时，求函数f（x）在区间[2，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），$x•f（x）＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，函数$f（x）=x+\frac{2}{x}+2，x∈[2，+∞）$．f（x）在[2，+∞）上是增函数，所以最小值为f（2）．
（2）在区间[1，+∞）上，$xf（x）={x^2}+2x+a＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立．令g（x）=x²+2x+a，x≥1，而函数g（x）在[1，+∞）上是增函数，则g（x）的最小值为g_min（x）=3+a．

解答 解：（1）当a=2时，函数$f（x）=x+\frac{2}{x}+2，x∈[2，+∞）$．
f（x）在[2，+∞）上是增函数．
所以f（x）在区间[2，+∞）上的最小值为f（2）=5．                               
（2）在区间[1，+∞）上，$xf（x）={x^2}+2x+a＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立．
令g（x）=x²+2x+a，x≥1，而函数g（x）在[1，+∞）上是增函数，
则g（x）的最小值为g_min（x）=3+a，
所以当且仅当$3+a＞\frac{2a+6}{|a|}$时恒成立，所以a＞2或-3＜a＜-2．

点评 本题主要考查了导数研究函数单调性，以及导数在恒成立问题中的应用，属中等题．