Question

14．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
（Ⅰ） 记函数g（x）=10^f（x）+3x，求函数g（x）的值域；
（Ⅱ） 若不等式f（x）＞m²-3m-18+lg4有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．求出定义域，根据指数的运算化简g（x）即可求g（x）的值域
（Ⅱ） 不等式f（x）＞m²-3m-18+lg4有解，只需f（x）_max＞m²-3m-18+lg4即可．

解答 解：（1）函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²）．
定义域满足$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，
可得：-2＜x＜2．
函数g（x）=10^f（x）+3x=-x²+3x+4，
对称轴为$x=\frac{3}{2}$，开口向下，
∴根据二次函数的性质，可得g（x）的值域为$（-6，\frac{25}{4}]$．
（2）∵f（x）＞m²-3m-18+lg4有解，
∴m²-3m-18+lg4＜f（x）_max，
令t=4-x²，t∈（0，4]，（-2＜x＜2）
根据二次函数的性质，可知：f（x）_max=lg4，
∴m²-3m-18+lg4＜lg4．
∴m²-3m-18＜0，
解得-3＜m＜6．
∴实数m的取值范围为（-3，6）．

点评 本题考查了对数的运算和化简能力，二次函数的性质的运用，值域的求法，转化思想求解最值问题．属于中档题．