Question

6．在△ABC中，D为AC中点，$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{AE}$，直线BD交CE于点M，过M的动直线l分别交线段CD、BE于P、Q两点，若$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{AC}$=y$\overrightarrow{AP}$，则xy的最大值为$\frac{49}{12}$．

Answer 1

分析 如图所示，由向量共线定理可设：$\overrightarrow{AM}$=a$\overrightarrow{AE}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$=$\frac{a}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$.$\overrightarrow{AM}$=b$\overrightarrow{AB}$+（1-b）$\overrightarrow{AD}$=b$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-b）$\overrightarrow{AC}$．比较系数可得a，b．$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{AC}$．设$\overrightarrow{AM}$=c$\overrightarrow{AQ}$+（1-c）$\overrightarrow{AP}$=$\frac{c}{x}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1-c}{y}$$\overrightarrow{AC}$，可得$\frac{c}{x}$=$\frac{1}{7}$，$\frac{1-c}{y}$=$\frac{3}{7}$，消去c，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
由向量共线定理可设：$\overrightarrow{AM}$=a$\overrightarrow{AE}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$=$\frac{a}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（1-a）$\overrightarrow{AC}$．
$\overrightarrow{AM}$=b$\overrightarrow{AB}$+（1-b）$\overrightarrow{AD}$=b$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-b）$\overrightarrow{AC}$．
∴$\frac{a}{4}$=b，1-a=$\frac{1}{2}$（1-b），
解得a=$\frac{4}{7}$，b=$\frac{1}{7}$．
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{AC}$．
设$\overrightarrow{AM}$=c$\overrightarrow{AQ}$+（1-c）$\overrightarrow{AP}$
=$\frac{c}{x}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1-c}{y}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{c}{x}$=$\frac{1}{7}$，$\frac{1-c}{y}$=$\frac{3}{7}$，
可得：x+3y=7．
∴7≥$2\sqrt{x•3y}$，化为：xy≤$\frac{49}{12}$．当且仅当x=3y=$\frac{7}{2}$时取等号．
则xy的最大值$\frac{49}{12}$．
故答案为：$\frac{49}{12}$．

点评 本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．