Question

我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．
设：由曲线x²=4y和直线x=4，y=0所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ₁；由同时满足x≥0，x²+y²≤16，x²+（y-2）²≥4，x²+（y+2）²≥4的点（x，y）构成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ₂．根据祖暅原理等知识，通过考察Γ₂可以得到Γ₁的体积为（　　）

• A、16π
• B、32π
• C、64π
• D、128π

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：阅读型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．

解答：解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，

用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积 S₁=π（4²-4|y|），
S₂=π（4²-y²）-π[4-（2-|y|）²]=π（4²-4|y|）
∴S₁=S₂，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，
∵Γ₂=

1

2

×

4π

3

×（8³-2³-2³）=

2π

3

×（48）=32π，
∴Γ₁=32π
故选：B

点评：本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．