题目内容
已知函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间［0，1］上单调递增，在区间［1，2）上单调递减。（1）求a的值；
（2）若点A（xo，f（xo））在函数f（x）的图象上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B
也在函数f（x）的图象上；
（3）是否存在实数b，使得函数g（x）＝bx2－1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。
答案：
解析：
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| （1）解：∵ 函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间［0，1］上单调递增，在区间［1，2］上单调递减，∴ x＝1时，y＝取得极大值。∴ f′（1）＝0。
∵ f′（x）＝4x3－12x2+2ax，∴ 4－12＋2a＝0。 ∴ a＝4。 （2）证明：点A（x0，f（x0））关于直线x＝1的对称点B的坐标为（2－x0，f（x0））。 f（2－x0）＝（2－x0）4－4（2－x0）3＋4（2－x0）2－1 ＝（2－x0）2［（2－x0） －2］2－1 ＝x04－4x03＋4x02－1 ＝f（x0）。 ∴ 点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f（x）的图象上。 （3）解：函数g（x）＝bx2－1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程x4－4x3＋4x2－1＝bx2－1恰有3个不等实根。 x4－4x3＋4x2－1＝bx2－1 ∵ x＝0是其中一个根，∴ 方程x4－4x3＋（4－b）x2＝0有两个非零不等实根。 ∴
|
x4－4x3＋（4－b）x2＝0。
b＞ 0且b≠4。
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，其中
表示函数f（x）在
，且
，证明： 
，且f（1）＝2．
Ｒ，则下列各式成立的是