Question

已知函数f（x）＝x－xlnx ， ，其中表示函数f（x）在

x＝a处的导数，a为正常数．

（1）求g（x）的单调区间；

（2）对任意的正实数，且，证明：

 

（3）对任意的

 

 

Answer 1

【答案】

见解析.

【解析】第一问中利用导数的，，然后判定的单调性。

第二问中，对任意的正实数，且，取，则，由（1）得，所以，

同理取，则，由（1）得，

所以，，综合克的结论。

第三问中，对k=1,2,3…n-2，令，则

，

显然1<x<x+k，，所以，

利用放缩法证明。

解：（1），，

．       …………………2分

所以，时，，单调递增；

  时，，单调递减．

所以，的单调递增区间为，单调递减区间为．  ………4分

（2）（法1）对任意的正实数，且，

取，则，由（1）得，

所以，……①；                     ………………………6分

取，则，由（1）得，

所以，……②．

综合①②，得结论．  ………………………8分

（3）对k=1,2,3…n-2，令，则

，

显然1<x<x+k，，所以，

所以，在上单调递减．

由，得，即．

 ．        ……………10分

所以

所以，．…………14分