Question

6．为缓解高三同学的紧张情绪，某校举行高三跳绳友谊赛，高三（一）班的3个同学分别与（二）班的3个同学对阵已知每一场比赛（一）班同学胜（二）班同学的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求两个班级的同学都至少胜一场的概率；
（2）求（一）班获胜场数X的分布列和数学期望值E（X）．

Answer 1

分析 （1）设“两个班级的同学都至少胜一场”为事件A，其对立事件为：一班3场都胜或3场都输了，利用P（A）=1-P（$\overline{A}$）即可得出．
（2）设一班获胜场数为X，由题意可得：X=0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设“两个班级的同学都至少胜一场”为事件A，
则P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-[$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{4}$）]=$\frac{13}{16}$．
（2）设一班获胜场数为X，由题意可得：X=0，1，2，3．
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{32}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{13}{32}$．
其分布列为：x的分布列为

x	0	1	2	3
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{13}{32}$	$\frac{3}{32}$

E（X）=0×$\frac{3}{32}$+1×$\frac{13}{32}$+2×$\frac{13}{32}$+3×$\frac{3}{32}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、相互独立、对立与互斥事件的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．