Question

已知点（1，

1

2

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问满足T_n＞

999

2010

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）先根据点（1，

1

2

）在f（x）=a^x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c求出数列{a_n}的公比和首项，得到数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

可得到数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{

Sn

}的通项公式，再由b_n=S_n-S_n-1可确定{b_n}的通项公式．
（2）先表示出T_n再利用裂项法求得的表达式T_n，根据T_n＞

999

2010

求得n．

解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=a=

1

2

∴f（x）=（

1

2

）^x，
∴a₁=f（1）-c=

1

2

-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

1

4

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

1

8

又数列{a_n}成等比数列，
a1=

a 2 2

a3

=-

1

2

，
∵a₁=

1

2

-c
∴-

1

2

=

1

2

-c，∴c=1
又公比q=

a2

a1

=

1

2

所以a_n=-

1

2

（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）ⁿ，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(

Sn-Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（Ⅱ）T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×2

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

由Tn=

n

2n+1

＞

999

2010

，得n＞

333

4

满足Tn＞

999

2010

的最小正整数为84．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及数列的求和问题．考查学生综合分析问题的能力．