Question

A组：直角坐标系xoy中，已知中心在原点，离心率为

1

2

的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为

1

2

的直线l₁，l₂．当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标．
B组：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知点（1，e）和(e，

3

2

)都在椭圆上，其中e为椭圆离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P，若AF1-BF2=

6

2

，求直线AF₁的斜率．

Answer 1

分析：A：（1）确定圆心坐标，设出椭圆方程，即可求得结论；
（2）确定l₁，l₂的方程，利用直线与圆相切，可得斜率之间的关系，结合椭圆方程，即可求得P的坐标；
B：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和(e，

3

2

)都在椭圆上列式求解．
（2）设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF₁|、|BF₂|，根据已知条件，用待定系数法求解．

解答：A组：
解：（1）由x²+y²-4x+2=0，得（x-2）²+y²=2，∴圆C的圆心为点（2，0），
从而可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其焦距为2c，
由题设知c=2，e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c=4，b²=a²-c²=12．
故椭圆E的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．
则l₁，l₂的方程分别为l₁：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂：y-y₀=k₂（x-x₀），且k1k2=

1

2

．
由l₁与圆c：（x-2）²+y²=2相切，得

|2k1+y0-k1x0|

k 2 1 +1

=

2

，
即[(2-x0)2-2]

k

2 1

+2(2-x0)y0k1+

y

2 0

-2=0．
同理可得[(2-x0)2-2]

k

2 2

+2(2-x0)y0k2+

y

2 0

-2=0．
从而k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的两个实根
所以

(2-x0)2-2≠0 △＞0

①，且k₁k₂=

y02-2

(2-x0)2-2

=

1

2

∵

x02

16

+

y02

12

=1，
∴5x₀²-8x₀-36=0，
∴x₀=-2或x₀=

18

5

由x₀=-2得y₀=±3；由x₀=

18

5

得y₀=±

57

5

满足①
故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（

18

5

，

57

5

）或（

18

5

，-

57

5

）
B组
（1）解：由题设知a²=b²+c²，e=

c

a

，由点（1，e）在椭圆上，得

1

a2

+

c2

a2b2

=1，∴b=1，c²=a²-1．
由点（e，

3

2

）在椭圆上，得

e2

a2

+

3

4b2

=1
∴

a2-1

a4

+

3

4

=1，∴a²=2
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，可得（m²+2）y₁²-2my₁-1=0．
∴y₁=

m+ 2m2+2

m2+2

，
∴|AF₁|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

②
由①②得|AF₁|-|BF₂|=

2m m2+1

m2+2

，∴

2m m2+1

m2+2

=

6

2

，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=

2

．
∴直线AF₁的斜率为

1

m

=

2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．