Question

【题目】已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为______.

Answer 1

【答案】8

【解析】

双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4,可得的值，由条件以为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即，根据可求得答案.

由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，

由焦点到渐近线的距离为4，即，即.

双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即以为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.

由双曲线和该圆都是关于轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.

所以，又

即，即，所以.

所以双曲线的右顶点到左焦点的距离为.

所以这个点到双曲线的左焦点的距离为8.

故答案为：8