题目内容
已知点O在△ABC内部，且有
=
+
，则△OAB与△OBC的面积之比为 ．
| AB |
| 4OB |
| 5OC |
分析：根据题意中向量等式，整理得到
=
+
．延长BO到D，使OD=BO，过D分别作OA、OC的平行线，得到平行四边形OEDF，从而
=
=
+
．利用平面向量基本定理，得到
=
且
=
，由平行四边形的性质得E、F两点到直线BO的距离相等，从而算出点A到直线BO的距离等于C到直线BO的距离的5倍．由此即可算出△OAB与△OBC的面积之比．
| BO |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 5 |
| 3 |
| OC |
| OD |
| BO |
| OE |
| OF |
| OE |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OF |
| 5 |
| 3 |
| OC |
解答：解：
∵
=
-
，且
=
+
，
∴
-
=
+
，
整理得
=-
-
，即
=
+
，
延长BO到D，使OD=BO，过D作OC的平行线交OA于E，
作OA的平行线交直线OC于F，则四边形OEDF为平行四边形，
可得
=
+
，
∵
=
，∴
=
+
，
∵
、
是共线的向量，
、
也是共线的向量，
∴由平面向量基本定理，得
=
，
=
，
∴E到直线BO的距离等于A到直线BO的距离的
，点F到直线BO的距离等于C到直线BO距离的
，
∵平行四边形0EDF中，E、F两点到直线BO的距离相等，
∴点A到直线BO的距离等于C到直线BO的距离的5倍，
∵△OAB与△OBC有公共的边BO，
∴以BO为底，△OAB与△OBC的高之比等于它们的面积之比，
由此可得：S△OAB=5S△OBC，从而△OAB与△OBC的面积之比为5：1．
故答案为：5：1
∵| AB |
| OB |
| OA |
| AB |
| 4OB |
| 5OC |
∴
| OB |
| OA |
| 4OB |
| 5OC |
整理得
| OB |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 5 |
| 3 |
| OC |
| BO |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 5 |
| 3 |
| OC |
延长BO到D，使OD=BO，过D作OC的平行线交OA于E，
作OA的平行线交直线OC于F，则四边形OEDF为平行四边形，
可得
| OD |
| OE |
| OF |
∵
| OD |
| BO |
| OD |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 5 |
| 3 |
| OC |
∵
| OE |
| OA |
| OF |
| OC |
∴由平面向量基本定理，得
| OE |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OF |
| 5 |
| 3 |
| OC |
∴E到直线BO的距离等于A到直线BO的距离的
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∵平行四边形0EDF中，E、F两点到直线BO的距离相等，
∴点A到直线BO的距离等于C到直线BO的距离的5倍，
∵△OAB与△OBC有公共的边BO，
∴以BO为底，△OAB与△OBC的高之比等于它们的面积之比，
由此可得：S△OAB=5S△OBC，从而△OAB与△OBC的面积之比为5：1．
故答案为：5：1
点评：本题给出△ABC中的点O满足的向量式，求△OAB与△OBC的面积之比．着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算、三角形的面积公式和平行四边形的性质等知识，属于中档题．
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