Question

已知函数f（x）

1

2

cos²x

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[

π

12

，

π

4

]上的最大值和最小值，及取得最大值和最小值时的自变量x的值．
（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

b+c=2求边a的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式可求得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，从而可求其最小正周期；
（2）x∈[

π

12

，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[

π

3

，

2π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）在[

π

12

，

π

4

]上的最大值和最小值，及取得最大值和最小值时的自变量x的值；
（3）△ABC中，依题意易求A=

π

3

，b+c=2，利用余弦定理及基本不等式即可求得边a的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

cos²x

3

2

sinxcosx+1
=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

4

sin2x+1
=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[

π

12

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）_max=

1

2

+

5

4

=

7

4

；
当2x+

π

6

=

π

3

或2x+

π

6

=

2π

3

时，
即x=

π

12

或x=

π

4

时，f（x）_min=

5+ 3

4

；
（3）∵f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

5

4

=

3

2

，b+c=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，0＜A＜π，
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

；
∵b+c=2，
∴a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc≥4-3(

b+c

2

)2=1，当且仅当b=c时取等号，
∴a的最小值是1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查余弦定理的应用及基本不等式，属于中档题．